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title: "Conception formelle : Validation et vérification"
date: 2023-01-13
tags: ["Bugs", "model-checking"]
categories: ["Conception formelle", "Cours"]
mathjax: true
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## Définition

### Validation

Losqu'un modèle ressemble à un système, alors il devient alors un candidat pour 
devenir un système réel. Mais alors **comment décider qu'un modèle est valide**?

Il doit satisfaire toutes des propriétés qui définissent un bon candidat, mais 
une liste de telles propriétés n'existe pas. Uen liste minimale de propriétés
dépends avant tout du type d'application. Pour la validation, les outils de
simulation (jper des scénario pour observer) sont consiérés comme adaptés.

la Validation permet donc de s'assurer **d'avoir construit quelque chose
d'adapté**

### Vérification

Le modèle doit vérifier tous les pré-requis  décrits dans les spécifications.
Nous vérifions alors que le modèle satisfasse toutes les exigences du cahier des
charges.

Ici la simulation n'est pas considérée comme une technique adaptée. Par contre
la vérification de modèle (*model checking*) est un bon moyen de vérification.

## Model Checking

\\(
\begin{array}{l}
{Model\ M} \to \\\ 
{Spec\ \varphi} \to \\\ 
\end{array}
\boxed{
\begin{array}{l}
{Model} \\\
{Checking} \\\
\end{array}
}
\to \? M \models \varphi
\\)

En entrée nous avons notre modèle \\(M\\) et notre spécification \\(\varphi\\),
nous devons alors vérifier que \\(M\\) modélise  \\(\varphi\\).

### Deux classes de propriété

#### Sureté

Quelque chose **est impossible**, une configuration est inaccessible par
exemple. À la suite d'un événement, un autre ne peut être atteint.

Si une propriété de sureté est non-satisfaite, alors le contre exemple est un
scénario fini.

**Il faut s'assurer que quelque chose de mauvais n'arrive jamais**

#### Vivacité

À l'inverse de la sureté, quelque chose est **toujours possible**. Un événement
est toujours suivi d'un autre événement dans un temps fini. Quoi que l'on fasse,
on arrive toujours à *B* après *A*. Si une propriété de vivacité est non
satisfaire, alors le contre exemple est un scénario infini.

**Il faut s'assurer que quelque chose de bien arrive toujours**

### Limites théoriques

Il existe deux grande famille de classe de couples modèles / spécification :

 * **systèmes finis**: toutes les formules, d'un point de vue logique sont
   décidable (calculable), il existe d'ailleurs un ensemble d'outils académiques
   pour le faire.
 * **systèmes infinis**: seules quelques formules sont décidable (automates avec
   des compteurs, des horloges, des file FIFO). Il n'existe que quelques 
   documents de recherches et peut d'outils

### Limites pratiques

La première de ces limites concerne le matériel (CPU, RAM, etc.). La
représentation de certains graphes peut être relativement gourmande

La seconde concerne les limites logiques. Modéliser est une tâche complexe, des
difficultés peuvent apparaître notamment lorsqu'il s'agit de s'assurer qu'un
modèle est valide.

## Formalisme

D'après [Wikipedia][l_formalisme]: Un formalisme a pour objectif de représenter
de manière non-ambiguë un objet d'étude en science

[l_formalisme]:https://fr.wikipedia.org/wiki/Formalisme

### Outils

Nous avons à notre disposition tout un tas d'outils pour décrire les
formalismes:

* Réseaux de Petri
* State Charts
* Message Sequence Chart (diagrammes de séquence en UML)
* Diagrammes de flux très utilisés par les électroniciens
* Process Algebra
* Les langages dédiés

### Choix de la logique

 * CTL -- *Computational Tree Logic*
 * LTL -- *Linear Tree Logic*
 * Hennessy-Milner Logic
 * Calcul infinitésimal
 * La logique de Dicky, logique basée sur les états.

### Pour ce cours

Nous nous limiterons aux variables avec un domaine fini: exit donc les `int`,
`float`, `string` etc. Nous utiliserons les **intervales** et les
**énumérations** (`enum`).

Comme outil, nous utiliserons *Altarica Checker* qui utilise la logique de Dicky
et u-calculus. Le tout avec  des relation dans des domaines finis.

## La logique de Dicky 

Soit le graphe suivant:

![Graphe ](./images/dickys.svg)

D'après le graphe, trouvons les états:

 * `a` est-il possible?: \\(\\{(0,a,1), (5,a,6), (2,a,5)\\}\\)
 * `c` est-il possible?: \\(\\{(2,c,3), (4,c,5)\\}\\)
 * avant `a`: \\(\\{0,5,2\\}\\)
 * après `c`: \\(3,5\\)
 * `c.a` possible?: \\((avant\ a) \cup (après\ c)  = \\{5\\}\\)


Il est question de logique comportementale : on s'intéresse au comportement
d'un système. Une propriété logique est un ensemble de conditions, Dans notre
exemple la preuve que `c.a` est possible. Comment vérifier, calculer ces
propriétés? Par un **algorithme de parcours de graphes** avec une complexité
linéaire.

Nous utilisons aussi la logique ensemblistes (union, intersection etc.).

Nous avons dans les graphes deux type de propriétés : les **états** et les
**transitions**.

### Les constantes

Pour chaque automate, nous avons des constantes de disponibles. Commençons par
les constantes vides :
 
 * `empty_s`: état vide
 * `empty_t`: transition vide

Nous avons ensuite les *sets de **tout*** :

 * `any_s`: tous les états
 * `any_t`: toutes les transitions

Les sets d'états initiaux: `initial`

Et un ensemble de transitions `self`, `epsilon`, `self-epsilon` : boucles sur
les états.

Il est possible de calculer des expressions élémentaires via des variables, par
exemple:

\\([ s \\% 2 = 0 ]\\)

Permet de trouver les états pairs.

### Opérateurs ensemblistes

Il est possible d'utiliser des opérateurs ensemblistes comme l'union et
l'intersection

Soit \\(F_1\\) et \\(F_2\\) deux formules du même type:

\\(
[\\![ F_1  \text{ et } F_2 ]\\!] = [\\![ F_1 \\&\\&  F_2 ]\\!] = [\\![ F_1  \cap F_2 ]\\!] 
\\\
[\\![ F_1  \text{ ou } F_2 ]\\!] = [\\![ F_1 \\|  F_2 ]\\!] = [\\![ F_1  \cup F_2 ]\\!] 
\\)

### Opérateur source, destination

Soit \\(T\\) une formule de transitions

 * \\(\text{src}(T)\\) représente l'ensemble des états source d'au moins une 
   transition de \\(T\\)
 * \\(\text{tgt}(T)\\) représente l'ensemble des états  destination d'au moins
   une transition de \\(T\\)

Soit \\(S\\) une formule d'état

 * \\(\text{rsrc}(S)\\) représente les transitions qui ont leurs source dans au
   moins un état de \\(S\\)
 * \\(\text{rtgt}(S)\\) représente les transitions qui ont leurs destination 
   dans au moins un état de \\(S\\)

### Exemples

\\(\text{any_s} - \text{src}(\text{any_t})\\) rerésente les états qui sont
source d'aucune transition, dont on ne peut pas sortir (état puit)

\\(\text{src}(\text{rtgt}(S) \cap T)\\) représente les états sources de
transitions vers \\(D\\) (**à vérifier**)

### Reach, coreach et loop

Ces opérateurs permettent de calculer des formules, dans les explications
suivantes \\(S\\) est une formule d'état et \\(T, T_1, T_2\\) des formulesde
transitions:

 * \\(\text{reach}(S,T)\\) représente tous les états au départ de \\(S\\) avec
   \\(T\\) comme transitions
 * \\(\text{coreach}(S,T)\\) représente tous les états avec comme destnation
   \\(S\\) et utilisants \\(T\\) comme transitions.
 * \\(\text{loop}(T_1,T_2)\\) représente les *Strongly Connected Components*
   (SCC). C'est une formule de transition tel que \\(T_3 \subseteq T_2\\) et
   \\(T_3 \cap T_1 \neq \emptyset\\)
 
