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+title: "Base de données avancées : Les formes normales"
+date: 2022-01-18
+tags: ["schema", "relation"]
+categories: ["Base de données avancées", "Cours"]
+mathjax: true
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+
+Les formes normales représentent différentes formes de normalisation de la
+relation universelle afin d'obtenir un schéma de base de données sans
+redondance, perte de donnée, perte de dépendance fonctionnelle et anomalies de
+mise à jour. On en dénombre 7 mais nous n'en verrons que 3 (plus celle de FNBC),
+les autres ayant surtout un interet théorique.
+
+## La première forme normale (1FN)
+
+Une relation est en première forme normale si chaque domaine de ses attributs
+est constitué de **valeurs atomique** : ne pouvant être décomposé. Attention,
+une coordonnée GPS, **même si elle est composée de deux nombres flottant** est
+considére comme atomique car elle supprime l'un des deux conduirait à la **perte
+du sens initial**.
+
+Les tableaux, les listes violent la première forme normale car composés de
+valeurs sémantiquement indépendante.
+
+## La seconde forme normale (2FN)
+
+Une relation en seconde forme normale est forcément en première forme normale.
+
+Une relation en 2FN ne supporte pas les dépendance de clé partielle. Pour être
+plus simple, un attribut ne peut dépendre une partie de la clé. Dans ce cas il
+est opportun de décomposer la relation
+
+### exemple
+
+ 1. prenons la relation \\(R(\underline{A,B},C,D)\\) avec \\(B \to D\\)
+ 2. nous pouvons la décomposer en \\(R'(\underline{A,B},C)\\) et
+    \\(R''(\underline{B},D)\\)
+
+## La troisième forme normale (3FN)
+
+Une relation en troisième forme normale est forcement en seconde forme normale.
+
+Chaque attribut non clé est pleinement et directement dependant des clé. tout
+attribut n'appartenant pas à une clé ne depend pas d'un attribut non clé.
+
+Prenons l'exemple de la relations suivante:
+
+\\( R(\underline{A,B},C,D)\\) avec \\( C \to D\\). Cette relation n'est pas en 3FN,
+pour cela nous allons la décomposer en deux relations :
+
+\\(R^{'}(\underline{A,B},C) \\\ R^{''}(\underline{C},D)\\)
+
+## La forme normale de Boyce-Codd
+
+Un schéma est en FNBC si et seulement si il est en 3FN et si aucun attribut ne
+dépend transitivement d'une clé. Pour faire plus simple, la partie gauche d'une
+dépendance fonctionnelle est forcément une clé (être une super clé).
+
+Prenons un exemple concret avec la relation suivante:
+\\(\text{adresse}(\text{ville}, \text{CP}, \text{rue})\\). on observe les
+dépendances suivantes:
+
+\\(\begin{array}{l}
+\text{ville},\text{rue} \to \text{CP}  \\\
+\text{CP} \to \text{ville}
+\end{array}\\)
+
+Cette relation n'est pas en FNBC car \\(\text{CP} \to \text{Ville}\\) et
+\\(\text(CP)\\) n'est pas une clé et \\(ville\\) depend transitivement de la
+clé.
+
+## Décomposition en 3FN et FNBC
+
+À partie d'une relation\\(r\\), l'objectif de ces décompositions est
+l'obtention d'un schéma de base de données minimisant le nombre de schéma de
+relations \\(r_{i}\\ dans perte (dependances fonctinnelles et données) et
+maximisant leurs formes normales.
+
+À partir des relations \\(r_{i}\\) nous devons pouvoir reconstituer \\(r\\) (via
+des jointures).
+
+Notons qu'il est toujours possible de décomposer en #FM sans perte de données et
+de dépendances fonctinnelle. Il est cependant toujours possible de décomposer en
+FNBC sans perte de données (mais avec parfois perte de dependances
+fonctionnelles).
+
+### Décomposition sans perte
+
+La décomposition d'une relation \\(R<\text{U},F>\\) en un ensemble de schema de
+relation \\(\{R_{1}, R_{2},...R_{n}\}\\) obtenus par projection et dites sans
+pertes si et seulement si quelque soit la réalisation cd \\(r\\) de \\(R\\):
+
+ * la jointure naturelle de \\(r_{i}\\) donne exactement \\(r\\).
+ * pas de perte de dependances : \\((F_{1} \cup F_{2}, ... \cup F_{n})^{+} =
+     F^{+}\\)
+
+#### Théorème de Heath
+
+Soit une relation \\(R(X,Y,Z)\\) avec la dépendance fonctionnelle vérifiée \\(X
+\to Y\\). \\(R\\) peut être décomposée en \\(R_{1}(X,Y)\\) et
+\\(R_{2})(X,Z)\\).\\(R\\) est égal à la jointure de ses projections sur
+\\(R_{1}\\) et \\(R_{2}\\).
+
+#### Théorème de Rissanen
+
+Soit une relation \\(R(X,Y,Z)\\) avec les dépendances fonctionnelle vérifiées 
+\\(X \to Y\\) et \\(Y \to Y\\).\\(R\\) peut alors être décomposée en 
+\\(R_{1}(X,Y)\\) et \\(R_{2}(Y,Z)\\).
+
+#### Théorème (mais sans nom celui-là)
+
+Soit un schéma de base de données \\(S = (S^{'}, S^{''}\\) et \\(F\\) l'ensemble
+de dépendances fonctionnelles associé. \\(S\\) est sans pertes par rapport à
+\\(F\\) si et seulement si \\((R^{'} \cap R^{''}) \to (R^{'} - R^{''})  
+\in F^{+}\\)
+
+### Décomposition en FNBC
+
+La décomposition en *forme normale de Boyce-Codd* s'obtient par décomposition
+successive sans garantie de conversation de toutes les dépendances
+fonctionnelles.
+
+#### exemple
+
+Soit \\(R(C, P, H, S, E, N )\\) avec
+ * C : Cours
+ * P : Professeur
+ * H : Heure
+ * S : Salle
+ * E : Etudiant
+ * N : Niveau
+
+Avec une seule clé : \\((H, E, C)\\) et les dependances fonctionnelles 
+suivantes:
+
+\\(
+F= \left \\{ \begin{array}{l}
+C \to P  \\\ 
+CE \to N \\\ 
+HS \to C \\\
+HE \to S \\\
+HP \to S  \\
+\end{array}
+\right \\}
+\\)
+
+ 1. Considérons \\(CE \to N \implies R_{1}(C,E,N\\) qui est en FNBC  et 
+      \\(R_{2}(C,P,H,S,E)\\) qui ne l'est pas.
+ 2. Dans \\(R_{2}\\) on a \\(C \to P\\ \implies R_{3}(C,P)\\) en FNBC et
+      \\(R_{4}(C,H,S,E)\\) qui le l'est pas.
+ 3. Dans \\(R_{4}\\) on a \\(HC \to S \implies R_{5}(H,C,S) \text{ et }
+      R_{6}(C,H,E)\\) toutes les deux en FNBC.
+
+Résultat : \\(R_{1}, R_{3}, R_{5} \text{ et } R_{6}\\) représente les relations
+en FNBC mais nous avons perdu la dependances fonctionnelles \\(HP \to S\\).
+
+### Décomposition en 3FN
+
+À partir de l'ensemble des dépendances fonctionnelles fournies et en utilisant
+leurs propriétés, on peut directement obtenir une décomposition sans perte
+
+#### Principe
+
+ 1. Calculer la couverture minimale
+ 2. Condenser les dépendances fonctionnelles ayant la même partie gauche. Chaque
+      relation obtenue est alors en 3FN
+ 3. Détecter les équivalences entre dependances fonctionnelles (regroupement des
+      relations) et vérifier que la clé \\(R\\) est présente dans un des schemas 
+      de relation obtenu.