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title: "Base de données avancées : Les formes normales"
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date: 2022-01-18
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tags: ["schema", "relation"]
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categories: ["Base de données avancées", "Cours"]
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mathjax: true
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Les formes normales représentent différentes formes de normalisation de la
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relation universelle afin d'obtenir un schéma de base de données sans
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redondance, perte de donnée, perte de dépendance fonctionnelle et anomalies de
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mise à jour. On en dénombre 7 mais nous n'en verrons que 3 (plus celle de FNBC),
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les autres ayant surtout un interet théorique.
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## La première forme normale (1FN)
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Une relation est en première forme normale si chaque domaine de ses attributs
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est constitué de **valeurs atomique** : ne pouvant être décomposé. Attention,
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une coordonnée GPS, **même si elle est composée de deux nombres flottant** est
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considére comme atomique car elle supprime l'un des deux conduirait à la **perte
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du sens initial**.
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Les tableaux, les listes violent la première forme normale car composés de
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valeurs sémantiquement indépendante.
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## La seconde forme normale (2FN)
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Une relation en seconde forme normale est forcément en première forme normale.
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Une relation en 2FN ne supporte pas les dépendance de clé partielle. Pour être
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plus simple, un attribut ne peut dépendre une partie de la clé. Dans ce cas il
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est opportun de décomposer la relation
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### exemple
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1. prenons la relation \\(R(\underline{A,B},C,D)\\) avec \\(B \to D\\)
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2. nous pouvons la décomposer en \\(R'(\underline{A,B},C)\\) et
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\\(R''(\underline{B},D)\\)
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## La troisième forme normale (3FN)
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Une relation en troisième forme normale est forcement en seconde forme normale.
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Chaque attribut non clé est pleinement et directement dependant des clé. tout
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attribut n'appartenant pas à une clé ne depend pas d'un attribut non clé.
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Prenons l'exemple de la relations suivante:
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\\( R(\underline{A,B},C,D)\\) avec \\( C \to D\\). Cette relation n'est pas en 3FN,
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pour cela nous allons la décomposer en deux relations :
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\\(R^{'}(\underline{A,B},C) \\\ R^{''}(\underline{C},D)\\)
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## La forme normale de Boyce-Codd
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Un schéma est en FNBC si et seulement si il est en 3FN et si aucun attribut ne
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dépend transitivement d'une clé. Pour faire plus simple, la partie gauche d'une
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dépendance fonctionnelle est forcément une clé (être une super clé).
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Prenons un exemple concret avec la relation suivante:
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\\(\text{adresse}(\text{ville}, \text{CP}, \text{rue})\\). on observe les
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dépendances suivantes:
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\\(\begin{array}{l}
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\text{ville},\text{rue} \to \text{CP} \\\
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\text{CP} \to \text{ville}
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\end{array}\\)
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Cette relation n'est pas en FNBC car \\(\text{CP} \to \text{Ville}\\) et
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\\(\text(CP)\\) n'est pas une clé et \\(ville\\) depend transitivement de la
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clé.
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## Décomposition en 3FN et FNBC
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À partie d'une relation\\(r\\), l'objectif de ces décompositions est
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l'obtention d'un schéma de base de données minimisant le nombre de schéma de
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relations \\(r_{i}\\ dans perte (dependances fonctinnelles et données) et
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maximisant leurs formes normales.
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À partir des relations \\(r_{i}\\) nous devons pouvoir reconstituer \\(r\\) (via
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des jointures).
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Notons qu'il est toujours possible de décomposer en #FM sans perte de données et
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de dépendances fonctinnelle. Il est cependant toujours possible de décomposer en
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FNBC sans perte de données (mais avec parfois perte de dependances
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fonctionnelles).
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### Décomposition sans perte
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La décomposition d'une relation \\(R<\text{U},F>\\) en un ensemble de schema de
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relation \\(\{R_{1}, R_{2},...R_{n}\}\\) obtenus par projection et dites sans
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pertes si et seulement si quelque soit la réalisation cd \\(r\\) de \\(R\\):
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* la jointure naturelle de \\(r_{i}\\) donne exactement \\(r\\).
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* pas de perte de dependances : \\((F_{1} \cup F_{2}, ... \cup F_{n})^{+} =
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F^{+}\\)
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#### Théorème de Heath
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Soit une relation \\(R(X,Y,Z)\\) avec la dépendance fonctionnelle vérifiée \\(X
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\to Y\\). \\(R\\) peut être décomposée en \\(R_{1}(X,Y)\\) et
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\\(R_{2})(X,Z)\\).\\(R\\) est égal à la jointure de ses projections sur
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\\(R_{1}\\) et \\(R_{2}\\).
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#### Théorème de Rissanen
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Soit une relation \\(R(X,Y,Z)\\) avec les dépendances fonctionnelle vérifiées
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\\(X \to Y\\) et \\(Y \to Y\\).\\(R\\) peut alors être décomposée en
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\\(R_{1}(X,Y)\\) et \\(R_{2}(Y,Z)\\).
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#### Théorème (mais sans nom celui-là)
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Soit un schéma de base de données \\(S = (S^{'}, S^{''}\\) et \\(F\\) l'ensemble
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de dépendances fonctionnelles associé. \\(S\\) est sans pertes par rapport à
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\\(F\\) si et seulement si \\((R^{'} \cap R^{''}) \to (R^{'} - R^{''})
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\in F^{+}\\)
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### Décomposition en FNBC
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La décomposition en *forme normale de Boyce-Codd* s'obtient par décomposition
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successive sans garantie de conversation de toutes les dépendances
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fonctionnelles.
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#### exemple
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Soit \\(R(C, P, H, S, E, N )\\) avec
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* C : Cours
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* P : Professeur
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* H : Heure
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* S : Salle
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* E : Etudiant
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* N : Niveau
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Avec une seule clé : \\((H, E, C)\\) et les dependances fonctionnelles
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suivantes:
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\\(
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F= \left \\{ \begin{array}{l}
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C \to P \\\
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CE \to N \\\
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HS \to C \\\
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HE \to S \\\
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HP \to S \\
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\end{array}
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\right \\}
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\\)
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1. Considérons \\(CE \to N \implies R_{1}(C,E,N\\) qui est en FNBC et
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\\(R_{2}(C,P,H,S,E)\\) qui ne l'est pas.
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2. Dans \\(R_{2}\\) on a \\(C \to P\\ \implies R_{3}(C,P)\\) en FNBC et
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\\(R_{4}(C,H,S,E)\\) qui le l'est pas.
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3. Dans \\(R_{4}\\) on a \\(HC \to S \implies R_{5}(H,C,S) \text{ et }
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R_{6}(C,H,E)\\) toutes les deux en FNBC.
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Résultat : \\(R_{1}, R_{3}, R_{5} \text{ et } R_{6}\\) représente les relations
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en FNBC mais nous avons perdu la dependances fonctionnelles \\(HP \to S\\).
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### Décomposition en 3FN
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À partir de l'ensemble des dépendances fonctionnelles fournies et en utilisant
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leurs propriétés, on peut directement obtenir une décomposition sans perte
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#### Principe
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1. Calculer la couverture minimale
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2. Condenser les dépendances fonctionnelles ayant la même partie gauche. Chaque
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relation obtenue est alors en 3FN
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3. Détecter les équivalences entre dependances fonctionnelles (regroupement des
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relations) et vérifier que la clé \\(R\\) est présente dans un des schemas
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de relation obtenu.
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