Modify relationnal algebra course

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@@ -188,7 +188,7 @@ t[acteur] = "Jay" \land s[acteur] = "Silent Bob" ) \\} \\)
 \\( \\{ 
 t | \exists s \in p(s[titre] = t[titre] 
 \land s[\text{nom_cinemas}] = "UCG" 
-\land {\not} {\exists} u \in p( u[\text{nom_cinemas}] = "Megarama"
+\land {\neg} {\exists} u \in p( u[\text{nom_cinemas}] = "Megarama"
 \land u[titre] = t[titre]
 \\} \\)
 
@@ -200,8 +200,57 @@ t | \exists \in p(\exists u \in f((s[\text{nom_cinemas}] = "UGC"
 \land t[realisateur] = u[realisateur]
 \\} \\)
 
-## Retour sur la notion de clé
+### Retour sur la notion de clé
 
 comme nous lavons abordé précédement, une clé est nécessaire pour identifier des
 *n_uplets* de façon unique sans pour autant en donner toutes leurs valeurs et
 respecter leurs unicité.
+
+Plus formellement
+
+ * \\(X \text{ clé de } R(U) \textit{ avec } X \subseteq U \textit{ ssi } \forall 
+     r:R(U) \\)
+ * \\(\forall t_1, t_2 \in r \\)
+ * \\(t_1\[X\] = t_2\[X\] \implies t_1 = t_2 \\)
+ * \\(\neg \exists Y \subset X  \implies t_1[Y] = t_2[Y] \implies t_1 = t_2\\) 
+
+### Expression saine
+
+Il est possible d'écrire en calcul algébrique des requêtes qui retourne un
+relation infinie. Un exemple parlant avec les numéros de comptes :
+
+ * Soit \\(Numcompte(Num)\\)) avec l'instance \\(n\\)
+ * Et la requête \\(\\{ t | \neg t \in n \\}\\) représentant les numéros de
+     comptes non rencencés.
+ * si on considère que \\( Dom(Num) = IN \\) alors la réponse à la question est
+     infinie.
+
+Un requête est saine si **quel que soit l'instance de la base** dans laquelle on
+l'évalue, elle retourne **une réponse finie**.
+
+## Calcul relationnel par domaine
+
+Le calcul relationnel par domaine est un langage de requête non procédural. Il
+ne fournit que la description de la requête et pas les méthodes pour la
+résoudre. Elle prend la forme suivante:
+
+\\(\\{ < x_1, x_2, ... , x_n> | P(x_1, x_2, ... , x_n)\\}\\)
+
+ * \\(< x_1, x_2, ... , x_n>\\) représente les variables de domaine résultant
+ * \\(P(x_1, x_2, ... , x_n)\\}\\) représente la formule similaire à ce que l'on
+     trouve dans la logique des prédicats
+
+Si on reprends notre exemple des cinémas, la requête permettant de trouver les
+films proposé à l'UGC est
+
+\\(\\{ \<t\> | \exists <nc, t, h> \in p(nc = "UGC"\\}\\)
+
+## Relation entre les trois langages
+
+Toute requête exprimée en algèbre peut être exprimée par le calcul et toute
+requête saine du calcul peut être expriméeapt une requête de l'algèbre. Les
+trois langages sont donc **équivalent d'un point de vue de la puissance
+d'expression**.
+
+L'algèbre est un langage procédural (quoi et comment) alors que le calcul ne
+l'est pas (seulement quoi).