content/bdd_avancees/3-algebre_relationnelle/index.md

@@ -188,7 +188,7 @@ t[acteur] = "Jay" \land s[acteur] = "Silent Bob" ) \\} \\)
 \\( \\{ 
 t | \exists s \in p(s[titre] = t[titre] 
 \land s[\text{nom_cinemas}] = "UCG" 
-\land {\neg} {\exists} u \in p( u[\text{nom_cinemas}] = "Megarama"
+\land {\not} {\exists} u \in p( u[\text{nom_cinemas}] = "Megarama"
 \land u[titre] = t[titre]
 \\} \\)
 
@@ -200,57 +200,8 @@ t | \exists \in p(\exists u \in f((s[\text{nom_cinemas}] = "UGC"
 \land t[realisateur] = u[realisateur]
 \\} \\)
 
-### Retour sur la notion de clé
+## Retour sur la notion de clé
 
 comme nous lavons abordé précédement, une clé est nécessaire pour identifier des
 *n_uplets* de façon unique sans pour autant en donner toutes leurs valeurs et
 respecter leurs unicité.
-
-Plus formellement
-
- * \\(X \text{ clé de } R(U) \textit{ avec } X \subseteq U \textit{ ssi } \forall 
-     r:R(U) \\)
- * \\(\forall t_1, t_2 \in r \\)
- * \\(t_1\[X\] = t_2\[X\] \implies t_1 = t_2 \\)
- * \\(\neg \exists Y \subset X  \implies t_1[Y] = t_2[Y] \implies t_1 = t_2\\) 
-
-### Expression saine
-
-Il est possible d'écrire en calcul algébrique des requêtes qui retourne un
-relation infinie. Un exemple parlant avec les numéros de comptes :
-
- * Soit \\(Numcompte(Num)\\)) avec l'instance \\(n\\)
- * Et la requête \\(\\{ t | \neg t \in n \\}\\) représentant les numéros de
-     comptes non rencencés.
- * si on considère que \\( Dom(Num) = IN \\) alors la réponse à la question est
-     infinie.
-
-Un requête est saine si **quel que soit l'instance de la base** dans laquelle on
-l'évalue, elle retourne **une réponse finie**.
-
-## Calcul relationnel par domaine
-
-Le calcul relationnel par domaine est un langage de requête non procédural. Il
-ne fournit que la description de la requête et pas les méthodes pour la
-résoudre. Elle prend la forme suivante:
-
-\\(\\{ < x_1, x_2, ... , x_n> | P(x_1, x_2, ... , x_n)\\}\\)
-
- * \\(< x_1, x_2, ... , x_n>\\) représente les variables de domaine résultant
- * \\(P(x_1, x_2, ... , x_n)\\}\\) représente la formule similaire à ce que l'on
-     trouve dans la logique des prédicats
-
-Si on reprends notre exemple des cinémas, la requête permettant de trouver les
-films proposé à l'UGC est
-
-\\(\\{ \<t\> | \exists <nc, t, h> \in p(nc = "UGC"\\}\\)
-
-## Relation entre les trois langages
-
-Toute requête exprimée en algèbre peut être exprimée par le calcul et toute
-requête saine du calcul peut être expriméeapt une requête de l'algèbre. Les
-trois langages sont donc **équivalent d'un point de vue de la puissance
-d'expression**.
-
-L'algèbre est un langage procédural (quoi et comment) alors que le calcul ne
-l'est pas (seulement quoi).

content/bdd_avancees/4-dependances_fonctionnelles/index.md

@@ -1,302 +0,0 @@
----
-title: "Base de données avancées : contraintes d'intégrité: les dépendances
-fonctionnelles"
-date: 2022-01-17
-tags: ["schema", "algèbre relationnelle", "relation"]
-categories: ["Base de données avancées", "Cours"]
-mathjax: true
----
-
-Une dépendance fonctionnelle entre deux ensemble d'attributs A et B indique une
-implication vérifié universellement : à une valeur de A correspond toujours une
-même valeur de B. Elle est notée \\(A \to B\\), A est parfois appelé **la
-source** et B **Le but**.
-
-Soit \\(R(a,b,c\\), l'attribut \\(b\\) est dit *fonctionnellement dépendant* de
-\\(a\\) si pour deux *n_uplets* \\(<a_1, b_1, c_1>\\) et \\(<a_2, b_2, c_2>\\)
-alors \\( a_1 = a_2 \implies b_1 = b_2 \\).
-
-Il est important de préciser que'une dependance fonctionnelle est **une
-assertion sur les valeurs possible** (domaine des attributs) et **non sur les
-valeurs actuelles** (extentipon courante de la relation). Elle caractérise une
-intention  et non pas une extention d'une relation :invariante au cours du
-temps.
-
-Elle doit être définie à partir d'un schema de relation. Par défaut elle sont
-définie sur la relation univerelle.
-
-## Utilité des dépendances fonctionnelles
-
-Elles permettent:
-
- * de vérifier que les extentions \\(r\\) du'un schema \\(R\\) sont conforme 
-     au réel perçu.
- * Modéliser les contraintes que devront vérifier toutes les relations d'un
-     schema.
-
-Les dépendances fonctionnelles sont des outils permettant de génerer de bon
-schemas fonctionnels et valides de façon automatique.
-
-## Propriété des dépendances fonctionnelles.
-
-Les propriétés des dependances fonctionnelles sont régies par les règles
-d'inférences définie par Armstrong en 1974. Il y en a 3 [axiomes][^n_axiome] :
-la réflexivité, l'augmentation et la transitivité.
-
-[^n_axiome]: En mathématiques,a le mot axiome désignait une proposition qui est
-  évidente en soi dans la tradition mathématique des Éléments d’Euclide.
-  L’axiome est utilisé désormais, en logique mathématique, pour désigner une
-  vérité première, à l'intérieur d'une théorie. source 
-  [Wkipedia](https://fr.wikipedia.org/wiki/Axiome#Math%C3%A9matiques)
-
-
-### La réflexivité.
-
-Tout groupe d'attributs se détermine lui même et détermine chacun de ses
-attributs.
-
-\\( \text{si } Y \subseteq X \text{ alors } X \to Y \\)
-
-### L'augmentation
-
-Si un attribut X détermine un attribut Y, alors tout groupe composé de X enrichi
-avec d'autres attributs détermine un groupe composé de Y et enrichi des mêmes
-autres attributs.
-
-\\( \text{Si } X \to Y \text{ et } Y \subset X \text{ alors  } XZ \to XY \\)
-
-### La transitivité
-
-Si un attribut X détermine un attribut Y et que cet attribut Y détermine un
-autre attribut Z, alors X détermine Z.
-
-\\( X \to Y \text{ et } Y \to Z \implies X \to Z \\)
-
-### Les règles déduites des trois principales
-
-#### La pseudo-transitivité
-
- 1. Augmentation
- 2. Transitivité
-
-\\( \text{Si } X \to Y \text{ et } WY \to Z \text{ alors } WX \to Z \\)
-
-#### L'union (ou la composition)
-
-\\( \text{si } X \to Y \text{ et } WY \to Z \text{ alors } WX \to Z \\)
-
-#### La décomposition
-
- 1. Réflexivité
- 2. Transitivité
-
-\\( \text{si } X \to Y \text{ et } Z \subset Y \text{ alors } X \to Z \\)
-
-## Les formes des dépendances fonctionnelles
-
-### Dépendance fontionnelle triviale
-
-C'est une simple dependance fonctionnelle obtenue par transitivité/
-
-### dépendance fonctionnelle simple / composée.
-
-Une dependance fonctionnelle qui ne comporte qu'un seul attribut en partie
-droite.
-
-### Dépendance fonctionnelle directe
-
-Dépendance fonctionnelle non obtenue par transitivité
-
-### Dépendance fonctionnelle directe
-
-Dependance fonctionnelle qui ne peux être décomposée (simple en partie gauche,
-sans attribut(s) superflu(s)).
-
-## Fermeture transitive d'un ensemble de dependances fonctionnelles
-
-La fermeture transitive d'un ensemble \\(F\\) représente le plus grand ensemble
-stationnaire \\(F^+\\) de dépendances fonctionnelles valides. Il est obtenu en
-appliquant les propriété des dépendances fonctionnelles (axiomes d'Armstrong).
-
-Cette fermeture est unique et ne depend pas de l'ordre d'utilisation de ses
-propriétés.
-
-Deux ensembles de dependances fonctionnelles sont équivalent si et seulement si
-ils ont la même fermeture transitive :
-
-\\( F_1^+ \equiv F_2^+ \iff F_1^+ = F_2^+ \\)
-
-## Fermeture transitive d'un ensemble d'attributs
-
-La fermeture transitive d'un ensemble d'attributs X par rapport à un ensemble de
-dépendances fonctionnelles F est l'ensemble des attributs qui peuvent être
-inférés à partir de X en utilisant les DF contenues dans F.
-
-Prenons l'exemple de la relation \\( R \\) avec les dépendances fonctionnelle 
-suivantes: \\( N \to T, T \to M, T \to P, N \to C \\) :
-
-![Schéma des dépendances fonctionnelles de N](./images/fermeture_transitive.svg)
-
- 1. \\( N_{0}^{+} = \{ N \} \\)
- 2. \\( N_{1}^{+} = \{ N, T, C \} \\) obtenu par réfexivité
- 3. \\( N_{2}^{+} = \{ N, T, C, M, P \} \\)
- 4. \\( N_{3}^{+} = \{ N, T, C, M, P \} \\)
-
-Comme \\( N_{2}^{+} = N_{3}^{+} \\) alors la condition d'arrêt est \\(N_{3}\\).
-
-## couverture minimale
-
-La couverture minimale représente un sous-ensemble \\( F_{min} \\) minimum --
-sans redondance -- de dépendance fonctionnelles qui permet de générer toutes des
-dépendances fonctionnelles de \\(F^{+}\\) :
-
-\\( F^{+}(F_{min}) \\)
-
-\\( \neg \exists F^{'} / F^{'} 	\subset  F_{min} \text{ et } F^{+}(F^{'}) =
-F^{+}(F_{min}) \\)
-
-Contrairement à \\(F^{+}\\), la couverture minimale n'est pas unique. C'est un
-ensemble essentiels pour effectuer des décompositions sans perte et ainsi
-générer de bon modèles de base de donnees.
-
-L'algorithme pour arriver à la couverture minimale se décompose en 3 étapes.
-L'ordre est à respecter :
-
- 1. Décomposer les dépendances fonctionnelles : un sel attribut en partie
-    droite.
- 2. Rendre les dépendances fonctionnelles élémentaires : membre gauche non 
-    décomposable
- 3. Supprimer les dépendances fonctionnelles redondantes, celles qui sont
-    obtenues par transitivité.
-
-### un exemple
-
-Soit la relation
-
-\\( F \left \\{ \begin{array}{c}
-A \to BC\\\
-AB \to C\\\
-ABC \to D\\\
-C \to D\\\
-D \to E\\\
-E \\to F\\\
-DEF \to G
-\end{array}
-\right \\} \\)
-
-Dans un premier temps nous décomposons les relations afin de rendre les
-relations élémentaires (un seul élement dans la partie droite)
-
-\\( F_{1} \left \\{ \begin{array}{c}
-A \to B \\\
-A \to C\\\
-AB \to C \\\
-ABC \to D\\\
-C \to D\\\
-D \to E\\\
-E \\to F\\\
-DEF \to G
-\end{array}
-\right \\}
-\begin{array}{l}
-\\\
-\\\
-\to \text{ élémentaire? non! augmentation de B sur } A \to C \textbf{: DF inutile}\\\
-\to \text{ idem: augentation de AB sur } C \to D \textbf{: DF inutile}\\\
-\\\
-\\\
-\\\
-\\\
-\end{array}
-\\)
-
-nous obtenons alors notre relation \\(F_{2}\\) :
-
-\\( F_{2} \left \\{ \begin{array}{c}
-A \to B \\\
-A \to C\\\
-C \to D\\\
-D \to E\\\
-E \\to F\\\
-DEF \to G
-\end{array}
-\right \\}
-\begin{array}{l}
-\\\
-\\\
-\\\
-\\\
-\\\
-\to \text{ pseudo transitivite car on a } D \to E \text{ et } E \to F \\\
-\end{array}
-\\)
-
-Devellopons le raisonnement autour de \\( DEF \to G \\). \\(D\\) est-il superfu?
-En clair y a t-il toujours un chemin pour aller de \\(EF\\) vers \\(G\\). En
-calcul relationnel, \\(G\\) appartient-il à la fermeture transitive de \\(EF\\)
-En clair il y a toujours un chemin pour aller de \\(EF\\) vers \\(G\\) : \\( G
-\in \\{EF\\}_{F2}^{+} \\)?.
-
- 1. \\( \\{EF\\}_{F2}^{+} = \\{E,F\\} \\) 
- 2. donc \\( G \notin \\{EF\\}_{F2}^{+} \\).
- 3. En clair \\(D\\) **n'est pas superflu**.
-
-Répétons ce raisonnement pout \\(E\\) :
-
- 1. \\( \\{DF\\}_{F2}^{+} = \\{D,F,E,G\\} \\) 
- 2. donc \\( G \in \\{DF\\}_{F2}^{+} \\) 
- 3. alors \\(E\\) **est superflu** donc on passe de \\(F_{2}\\) à \\(F_{3}\\)
-
-La méthode est donc la suivante : j'enlève un attribut en partie gauche de ma
-dependance foncionnelle et je vois s'il est toujours possible d'attendre la
-partie droite en parcourant le graphe des dépendances.
-
-On repête l'opération pour \\(F\\):
-
- 1. \\( \\{D\\}_{F3}^{+} = \\{D,E,F,G\\} \\)
- 2. donc \\( G \in \\{F\\}_{F3}^{+} \\)
- 3. alors \\(G\\) **est superflu** donc on passe de \\(F_{3}\\) et \\(F_{4}\\)
-
-
-\\( F_{4} \left \\{ \begin{array}{c}
-A \to B \\\
-A \to C\\\
-C \to D\\\
-D \to E\\\
-E \\to F\\\
-D \to G
-\end{array}
-\right \\}
-\\)
-
-**Toutes les dépendances fonctionnelles son maintenant élementaires, elles ont
-un nombre minimum d'attriuts en partie gauche**. Il nous reste maintenant un
-dernier point : avons nous des dépendances obtenues par transitivité. Ici il n'y
-a ici aucune dépendance fonctionnelle obtenue de la sorte : aucun attribut
-apparaît deux fois en partie gauche (un seul chemin pour aller vers chacun des
-attributs.
-
-Pour vérifier la transitivité, nous pouvons uassi utiliser une méthode
-ensembliste. Vérifions pour la dépendance \\( A \to C \\). nous devons vétifier 
-si \\( C \in \\{A\\}_{F4 - A \to C}^{+} \\) en clair est-ce que \\(C\\) 
-appartient à \\(A\\) privé de sa relation  \\( A \to C \\)
-
- 1. \\( \\{A\\}_{F4 - A \to C}^{+} = \\{A,B\\} \\)
- 2. donc \\( C \notin \\{A\\}_{F4 - A \to C}^{+} \\)
- 3. alors \\( A \to C \\) n'est pas redondante
-
-Il nous suffit de recommencer l'opération pour l'ensemble de dépendances de
-notre relation.
-
-La conclusion : \\(F_{4}\\) représente **la couverture minimale** de notre
-relation.
-
-## Retour sur la notion de clé
-
-Un sous ensemble \\(X\\) d'un schéma \\(R<U,F>\\) (\\(U\\) étant l'ensemble
-attributs et \\(F\\) une couverture minimale) est une clé si et seulement si :
-
- 1. \\( \\{X \to U\\} \in F^{+} \\)
- 2. \\( \neg \exists X' \subset X / \\{ X' \to U \\} \in F^{+} \\) : minimalité
-    de la clé
- 3.