cours/content/conception_formelle/3_extention_logique/index.md

title	date	tags	categories	mathjax
Conception formelle : Extention de la logique	2023-01-20	Bugs model-checking	Conception formelle Cours	true

Rappel mathématique

Soit \(E\) un ensemble dictret, \(f\) une fonction tel que \(f: E \to E \) et \(E_1 \subseteq E_2\) et \(E_2 \subseteq E\) :

• \(f\) est monotone si et seulement si \(E_1 \subseteq E_2) \implies f(E_1) \subseteq f(E_2)\)
• \(f\) est *antimonotone si et seulement si \(E_1 \subseteq E_2) \implies f(E_1) \supseteq f(E_2)\)
• \(f\) est augmentée si et seulement si \(E_1 \subseteq f(E_1)\)
• \(f\) est reduite siet seulement si \(E_1) \supseteq f(E_2)\)

Soit \(f_1, f_2: E \to E\) deux fonctions monotones et \(g_1, g_2: E \to E\) deux fonctions antimonotone :

• \(f_1(f_2(X))\) est monotone
• \(f_1(f_2(X))\) est antimonotone
• \(g_1(f_2(X))\) est antimonotone
• \(g_1(g_2(X))\) est monotone

Propriété (fonction monotone croissante)

Soit \(f: E \to E\) une fonction monotone croissante tel que \(\emptyset \subseteq f(\emptyset) \subseteq f^2(\emptyset) \subseteq ... \subseteq f^n(\emptyset) \subseteq ... \subseteq E\) avec \(E\) ensemble finis et discret : \(\exists i / \forall n \le i; f^n(\emptyset) = f^i(\emptyset) \) alors \(f^i(\emptyset)\) est la plus petite solution à l'équation \(X = f(X) \).

Alors si \(E\) est un ensemble fini et discret et que \(f: E \to E\) est une fonction monotone croissante alors \(X=f(X)\) est plus petit point fixe obtenu par itération. \(f(E) = E\) alors \(E\) est aussi une solution de \( X = f(X)\)

Propriété (fonction monotone décroissante)

Soit \(f: E \to E\) une fonction monotone décroissante tel que \(E \supseteq f(E) \supseteq f^2(E) \subseteq ... \subseteq f^n(E) \subseteq ... \subseteq \emptyset\) avec \(E\) ensemble finis et discret : \(\exists i / \forall n \le i; f^n(\emptyset) = f^i(\emptyset) \) alors \(f^i(\emptyset)\) est la plus petite solution à l'équation \(X = f(X) \).

Et si \(f: E \to E\) est une fonction monotone décroissante, alors \(X=f(X) \) est plus grand point fixe obtenu par itération.\(f(\emptyset) = \emptyset\) alors \(\emptyset\) est aussi une solution de \( X = f(X)\)

Extension de la logique de Dicky

Soit :

• \(A\) un graphe \(G(S,T)\)
• \(f(X)\) une formule logique sur \(S\) (state) ou \(T\) (transition)
• \(S_1 \subseteq S\) et \(S_2 \subseteq S\)
• \(T_1 \subseteq S\) et \(T_2 \subseteq S\)
• \(X_1 \subseteq X\) et \(X_2 \subseteq X\) avec \(X = S\) ou \(X = T\)
• \(Y_1 \subseteq Y\) et \(Y_2 \subseteq Y\) avec \(Y = S\) ou \(Y = T\)

Constantes et proposition élémentaires

\(F(X)\) est une formule avec seulement \(\emptyset_S, \emptyset_T, any_s, any_t, initial, ...\). Si \(f\) est une constante et \(f^2(X) = f(X)\) alors \(f(X)\) est la solution.

Les opérateurs logiques

Soit \(f(X)\) une formule avec aussi src, tgt, rsrc, rtgt et \(T\), \(S\) tel que

• \(T_1 \subseteq T_2 \implies src(T_1) \subseteq src(T_2)\)
• \(T_1 \subseteq T_2 \implies tgt(T_1) \subseteq tgt(T_2)\)
• \(S_1 \subseteq S_2 \implies rsrc(S_1) \subseteq rsrc(S_2)\)
• \(S_1 \subseteq S_2 \implies rtgt(S_1) \subseteq rtgt(S_2)\)

\(f\) est monotone alors la solution de \(X = f(X)\) peut être calculée par itération.

Opérateurs d'ensembles

Soit \(f(X)\) une formule avec aussi \( \cup, \cap, \setminus \) (soustraction d'ensemble) :

• \(X_1 \subseteq X_2, Y_1 \subseteq Y_2 \implies X_1 \cup Y_1 \subseteq X_2 \cup Y_2\) (formule monotone)
• \(X_1 \subseteq X_2, Y_1 \subseteq Y_2 \implies X_1 \cap Y_1 \subseteq X_2 \cap Y_2\) (formule monotone)
• \(X_1 \subseteq X_2, Y_1 \subseteq Y_2 \implies X_1 \setminus Y_1 ? X_2 \setminus Y_2\) ici deux cas de figures:
  • \(X_1 \subseteq X_2 \implies X_1 \setminus Y_1 \subseteq X_2 \setminus Y_1\) est une formule monotone.
  • \(Y_1 \subseteq Y_2 \implies X_1 \setminus X_2 \supseteq X_2 \setminus Y_2\) est une formule anti monotone.

Résultat

Soit \(f(X)\) une formule. Si \(X\) apparaît derrière un nombre pair de soustrtactions, alors \(f\) est monotone et \(f(X)\) peut être calculé par itération :

• Si elle est croissante nous pouvons calculer le plus petit point fixe
• Si elle est décroissante nous pouvons caluler le plus grand point fixe

Sinon elle est antimonotone et ne peut être calculée par itération. Alors nous ne pouvons pas savoir s'il existe une solution à \(X = f(X)\).

Exemple

Prenons la formule \(F(X) = dead_0 \ cup (src(rtgt(X)) \setminus src(rtgt(any_s \setminus X)))\) :

• nous avons trois occurences de \(X\) après 0,0 et deux soustractions dans l'expression, donc \(f\) est monotone.
• \(f\) est une fonction croissante, nous pouvons alos calculer le plus petit point fixe par l'itération de \(f^i(\emptyset_s)\).

La solution de cette équation représente le plus petit ensemble de configurations qu mène à un état puit.

Sur ARC

\( X -= f(X)\) calcule le plus grand point fixe et \( X += f(X)\) le plus petit point fixe. Voici un exemple :

with MyComponent do
    // calculer les états puit 
    dead := any_s - src(any_t - self_epsilon);

    // trouver les transitions qui mène ces états : calcul du plus
    // petit point fixe
    deadlock += dead | (src(rtgt(deadlock)) - src(rtgt(any_s - deadlock)));
done
```